4阶行列式详细解题(用公式)

1、4阶行列式怎么计算

行列式是线性代数中的基本概念之一，它在数学上有着广泛的应用。其中，4阶行列式是高阶行列式中最为常见的一种，其计算方法也比较简单实用。

4阶行列式的计算需要按照以下公式进行：

$$

\left|

\begin{matrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{matrix}

\right| =

a_{11}

\left|

\begin{matrix}

a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{42} & a_{43} & a_{44}

\end{matrix}

\right|

- a_{12}

\left|

\begin{matrix}

a_{21} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{43} & a_{44}

\end{matrix}

\right|

a_{13}

\left|

\begin{matrix}

a_{21} & a_{22} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{44}

\end{matrix}

\right|

- a_{14}

\left|

\begin{matrix}

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43}

\end{matrix}

\right|

$$

即先选取第一行数据，然后依次计算每个数据的余子式，再带上相应的符号求和。

例如，假设有如下4阶矩阵：

$$

\left|

\begin{matrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

5 & 6 & 7 & 8 \\

9 & 10 & 11 & 12 \\

13 & 14 & 15 & 16

\end{matrix}

\right|

$$

则可以先选取第一行，计算每个数据的余子式：

$$

\left|

\begin{matrix}

6 & 7 & 8 \\

10 & 11 & 12 \\

14 & 15 & 16

\end{matrix}\right|,

-\left|

\begin{matrix}

5 & 7 & 8 \\

9 & 11 & 12 \\

13 & 15 & 16

\end{matrix}\right|,

\left|

\begin{matrix}

5 & 6 & 8 \\

9 & 10 & 12 \\

13 & 14 & 16

\end{matrix}\right|,

-\left|

\begin{matrix}

5 & 6 & 7 \\

9 & 10 & 11 \\

13 & 14 & 15

\end{matrix}\right|

$$

根据公式求和，得到4阶矩阵的行列式为：

$$

\left|

\begin{matrix}

1 & 2 & 3 & 4 \\

5 & 6 & 7 & 8 \\

9 & 10 & 11 & 12 \\

13 & 14 & 15 & 16

\end{matrix}

\right| = 1\cdot\left|

\begin{matrix}

6 & 7 & 8 \\

10 & 11 & 12 \\

14 & 15 & 16

\end{matrix}\right|

- 2\cdot\left|

\begin{matrix}

5 & 7 & 8 \\

9 & 11 & 12 \\

13 & 15 & 16

\end{matrix}\right|

3\cdot\left|

\begin{matrix}

5 & 6 & 8 \\

9 & 10 & 12 \\

13 & 14 & 16

\end{matrix}\right|

- 4\cdot\left|

\begin{matrix}

5 & 6 & 7 \\

9 & 10 & 11 \\

13 & 14 & 15

\end{matrix}\right| = 0

$$

因此，该矩阵的行列式为0。

对于4阶行列式，只需要按照公式依次计算余子式并求和即可，不会涉及到过多的高阶矩阵运算，因此是线性代数入门的基础知识之一。

2、4阶行列式详细解题步骤(用公式)

四阶行列式是指由四行四列的数构成的矩阵行列式，它可以利用下面这个公式进行求解：

$$

\begin{vmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\

a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\

\end{vmatrix} = \\ a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} & a_{24} \\ a_{31} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix} a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{24} \\ a_{31} & a_{32} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix} - a_{14}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix}

$$

步骤如下：

STEP 1：在行列式中任选某一行（列），以该行（列）中的元素为基础，按照上式进行展开。

STEP 2：对于步骤一中的每一项，重复以上步骤，直到行列式中只剩下 2 阶行列式的乘积。

STEP 3：对于 2 阶行列式，使用公式 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ 进行计算。

STEP 4：将所有的 2 阶行列式的计算结果进行累加，即可得到最终结果。

举个例子，假设要计算下面这个四阶行列式：

$$

\begin{vmatrix}

3 & 4 & 2 & 1 \\

2 & 0 & 5 & 3 \\

6 & 4 & 5 & 1 \\

2 & 3 & 0 & 1 \\

\end{vmatrix}

$$

我们可以选取第一行进行展开，得到：

$$

\begin{vmatrix}

3 & 4 & 2 & 1 \\

2 & 0 & 5 & 3 \\

6 & 4 & 5 & 1 \\

2 & 3 & 0 & 1 \\

\end{vmatrix} = 3\begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} - 4\begin{vmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 6 & 5 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} 2\begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 6 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 6 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix}

$$

接下来，我们对每个三阶行列式进行展开：

$$

3\begin{vmatrix} 0 & 5 & 3 \\ 4 & 5 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 3(0\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} 3\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}) = -225

$$

$$

-4\begin{vmatrix} 2 & 5 & 3 \\ 6 & 5 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -4(2\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} 3\begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}) = -304

$$

$$

2\begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 6 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 2(2\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 6 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}) = -64

$$

$$

-1\begin{vmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 6 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -1(2\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} - 0\begin{vmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 6 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}) = -2

$$

将以上结果累加，最终得到结果 $-225-304-64-2=-595$。

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